引入

高强度冲浪的你一定听过这个案例：囚徒困境。即警局逮捕了两名罪犯，但没有足够证据指控两人有罪。于是警局将两位罪犯分开分别审问。两位罪犯各自都有两种选择：背叛与保持沉默，合并来看有以下三种情况：

• 两人均背叛对方（互相揭发）：各自获得 5 年刑期
• 两人均保持沉默：（由于警局没有可靠的证据），两人各自获得 0.5 年刑期
• 一方背叛，另一方沉默：背叛一方立即获释，沉默一方获得 10 年刑期。

站在上帝视角，聪明的你一定能想到：要想让两个人共同获利最多，那一定是选择均保持「沉默」，这样两方都只有半年刑期。但事实是，如果你站在某一位囚犯的视角上，显然选择「背叛」是最优的，最坏结果也就是 5 年刑期，不至于沦落到 10 年。于是双方都这样想，两人均获得 5 年刑期。

「囚徒困境」，便是经典的静态博弈模型；而「双方都背叛」这个决策，便是「纳什均衡」。什么？你说你这两个名词都没听过？没关系，这篇文章我们就会讲这两个概念。但在这之前，我们还需要先了解一下——到底什么是博弈论？

博弈论基本概念

定义

维基百科写的真不是人话，要让我来总结，基本就是：

研究理性的人在决策性的场景中如何做出决策的理论。

（这句话的重点在于博弈论中，我们假设参与者都是理性且自私的，就拿囚徒困境举例子，他们不会选择「沉默」，去赌合作的可能性，因为他们知道这么做会让自己有更大的风险。）

三要素

通过这句话，就可以提取出博弈论的「三要素」：

• 参与者 (Player)：参与博弈的人
• 策略 (Strategies)：在博弈过程中参与者选择的策略
• 回报 (Payoff)：根据决策不同从而得到不同的回报

非常简单！我们终于可以开始学最简单的博弈类型了：完全信息静态博弈！

完全信息静态博弈

这个八个字的名词应该分开来看：

1. 静态博弈：各方同时做出决策，或者说决策有先后顺序，但是在做决策时博弈者互相看不到其他博弈者的策略
2. 完全信息博弈：即所有信息对于所有参与者都是公开的（包括可选策略、每个策略对应的回报等）

最经典的完全信息静态博弈就是囚徒困境，你还是否记得我提了一个名词——纳什均衡？这是咱们了解博弈论的基础工具，必须学习一下：

纳什均衡

定义与例子

「纳什均衡」以约翰·纳什¹命名，是博弈论的核心基石。依旧先给出我的定义：

一个任何参与者单方面改变策略，且其他参与者不改变的情况下，该参与者都无法获得任何好处的情况，就被称为「纳什均衡」

没看懂？让我们继续利用囚徒困境的模型，但这次我们画一个表格：

（表格中元组的第一项为囚徒 A 的刑期时长，第二项为囚徒 B 的刑期时长，数值越大即刑期越短）

好的，现在让我们以「双方都背叛」为基础，试试单方面改变某个人的策略：比如让囚徒 A 沉默，你会发现他的刑期变成了 10 年，改变 B 也同理。他们都无法通过只改变自己的策略来使自己受益，那么「双方都背叛」这个组合就是这个模型的纳什均衡点。

如何找纳什均衡？

所以，我们要怎么找到纳什均衡呢？

划线法

隆重请出：划线法！

让我们继续使用已经被提过不知道多少次了的囚徒困境：

首先，我们固定 A 的策略到「背叛」，然后逐一比较 B 的策略，发现对 B 来说最好的就是 5 年，我们在 5 下划线。同理，再固定 A 的决策到「沉默」，继续比较 B：

同理，我们固定 B：

结果显而易见：那个下方都被我们划线的组合，就是纳什均衡点。

如果策略组合很多，我们可以先删去严格劣势策略减少一部分可能性后再使用划线法。并且很显然，划线法对三人及以上参与者的博弈是不适用的，但受限于文章篇幅，先不讲了...

重复博弈：我要报仇！

那如果这个简单的博弈可以重复进行无数次呢？或许你听过那个很著名的策略：一报还一报（Tit-For-Tat），即你的下一次决策完全复刻对手的这次决策。听起来没什么实感？让我们举个例子感受下这个策略的优越和稳定性。当然，此时再用囚徒困境就不太合适了，因为大抵这世上没人想在监狱里玩这种重复博弈吧... 就让我们换个例子，这次，我们讲讲「两家面包店」的故事：

假设有两家面包店，他们每天都可以修改面包的价格，且只能改为高价（10 元）、低价（5 元）这两种价格，不同的价格有不同的收益：

（元组第一项为 A，第二项为 B）

与囚徒困境很类似，纳什均衡点就是都低价。但现在每一天都是新的开始！让我们看看假如你是面包店 A 老板，在第一天选择高价的情况下，如果使用一报还一报策略，会发生什么情况：

可能性一：完美合作

假如 B 老板是个老实人，第一天决定释放善意，选择出高价，你们都获得了最佳利润。第二天你同样复刻他昨天的策略，B 看到了你的善意，也决定继续合作。最终两人就会稳定地完美合作下去。

可能性二：一开始的背叛

假如 B 老板第一天动了歪心思，选择低价竞争，你在第一天亏的很惨。但第二天你复刻了他昨日的决策，选择「低价」，此时，你的最坏结果也不过是与对方「两败俱伤」。第三天，对方大概率已经看懂了你的决策方法，对方应该逐渐明白：最佳的方式应该是选择合作，一起出高价。

一报还一报为什么有用？

你或许会问：这个策略看起来也太简单了，真的有用吗？答案显然是肯定的。在 1980 年一位大学教授组织的囚徒策略比赛中，一报还一报是最终胜出的策略²。我搜到了一篇博客³，很认同里面提出的几点原因（不幸的是，中文互联网上我并没有搜到有关这个竞赛和这个策略的内容）：

1. 敏感性：这个策略在对手背叛自己后，就会立即也采取背叛策略，将自己的损失降到最低。
2. 宽容性：他并没有彻底堵死合作的可能性，只要对手原意承担一点小损失，那么在「改邪归正」后咱们依然可以与对手建立合作。
3. 简单性：这个策略太简单了，仅次于「全背叛」或「全合作」，在三局之后，对手基本就能摸清你的策略机制。

但需要注意的是，一报还一报在面对稳定、可预测的对手，且重复次数无限制时效果是最佳的，但如果你的对手有点「奇怪」，采用这种严格的策略有可能会陷入「背叛循环」，没有改出的机会。此时，采用宽容一点的策略如两报还一报才是更优解。

除了耳熟能详的囚徒困境，经典模型还有很多，比如猎鹿模型的重点在于「信赖」，只有当你们双方足够信赖对方时，才可能达成合作；鹰鸽模型的重点在于「竞争与收益的平衡」，即为了一个东西，我是否值得去强硬的竞争到最后。这些模型都很有意思，也能带来不同的思考。但考虑到篇幅，无法展开讲解了。

完全信息动态博弈

终于！我们来到了动态博弈部分，在这一章节，我们将会引入一个全新的变量：「顺序」，在现实中，双方往往不是同时做出决策，而是有顺序的，这就意味着后者可以看到前者做出的决策，这其实有点像下棋。

子博弈精炼纳什均衡

依旧设想一个场景：有 A、B 两家公司，前者是市场巨头，而后者是挑战者。博弈树长这个样子（元组第一项为 A 公司收益，第二项为 B 公司收益）：

可以看到，这里面存在两个子博弈：整个博弈就是子博弈 C1，而在「进入市场」分支中还存在着一个子博弈 C2。

而解决动态博弈（找到最优策略）的关键，就在于寻找「子博弈精炼纳什均衡」，听起来很高大上？没错，记住这个名字，他就成了你茶余饭后、群内聊天吹水的谈资，但其实他的本质很简单：一个策略组合，它在每一个子博弈中都是一个纳什均衡。

所以... 到底要怎么寻找这东西呢？继续隆重请出新的嘉宾：逆向归纳法！

让我们再看向这个博弈树，顾名思义，「逆向」即为从最后一次决策（C2）看起，在这个决策中，显然作为一个理性的参与者，A 会选择与 B 合作。所以我们应该只保留 (5, 5) 这一个结果，把另一种分支“剪”掉：

接下来向前倒推 C1 决策，显然在 B 看来，「进入市场」是个收益更大的选择。所以，最终的均衡结果就是：B 进入市场，A 默许进入，双方瓜分市场。

最后通牒博弈

这是一个很著名也很有趣的实验：有两名玩家 A、B 和 a 元钱。实验者把这 a 元钱给 A 玩家，玩家 A 需要提出一个分配方案，将这些钱分给他自己和玩家 B。

玩家 B 负责做出选择：

• 接受：这 c 元钱按照 A 的提议分配
• 拒绝：两个人一分钱都得不到

现在让我们利用刚才学到的逆向归纳法，进行一次推理：

从 C2 看，只要 A 提议的 b>0，那么 B 就应该选择接受，保证利益最大化。再往上看 C1，由于 A 知道 B 会接受任何 b>0 的分配方案，所以他应该给 B 尽可能少的钱，保证自己的利益最大化。最终的均衡就是：(c=1 元, b=a-1 元)

但在实际实验的过程中，发现了两点差异：

1. A 大部分情况下不会提出这么极端的分配方案，他知道会被对方否决导致自己什么都得不到。
2. B 在 A 提出过于极端的分配方案时，确实会选择拒绝，或许是为了惩罚 A 的贪婪？

这实际上告诉我们：在大部分现实情况中，博弈论「理性人」的假设实际是不成立的，人们内在的道德感与公平感不允许做出完全自利的决策。

不完全信息博弈

在前面几个部分，每个参与者都能知道具体的游戏规则，不存在信息差，但这与现实相去甚远，在现实中，很多情况你根本不确定你的对手是谁（他的偏好、底牌什么的），我们把这些信息称为对方的「类型」。这时候，你就需要基于你已经掌握的对方的信息，形成一种「信念」（说人话就是概率），这个信念决定了在你的视角中，他某一类型的可信度。

解决这一问题的工具，是「贝叶斯纳什均衡」，其思想是：每个玩家都会根据自己对其他玩家“类型”的“信念”，来选择一个能最大化自己收益的策略。最终达成的纳什均衡，就是在一个所有人都根据自己的（概率）猜测做出了最优选择，且谁也不想单方面改变的状态。

信号博弈

一个经典的例子就是诺贝尔奖得主迈克尔·斯宾塞提出的「教育作为信号」模型。当时看到这一点时，有种恍然大悟的感觉：之前我不知道从哪里读到过一句话：「文凭溢价的本质就是信号传递+人力资本」，当时对「信号传递」有点模糊的感觉，但不清楚具体是什么，现在可算明白了。

求职者与公司之间，就是不完全信息博弈的关系。公司不知道求职者的能力高低，但求职者自己知道，那求职者要如何有效证明自己能力很强呢？答案就是通过「学历」传递信号！对于高能力的求职者来说，取得高学历的成本（付出的精力和时间）较少；而对低能力求职者则相反，付出的成本远远超出这个职位带来的回报，那他自然不会选择去获取这个高学历。这样，高学历就只有高能力者才会获得，那么当公司拿到这份学历时，自然就能获得它所传递的信号：这个求职者很牛批！

但问题也就出现在这里，或许你在获取这个学历的过程中所学的知识，在工作中根本用不上！你所做的一切，仅仅是为了向公司传递这个信号而已。

至于具体贝叶斯纳什均衡怎么计算，受限于文章篇幅和作者本人能力，在此就不详细展开了。

所以... 有什么用？

所以… 兜兜转转聊了这么多，从囚徒困境到纳什均衡，从重复博弈到最后通牒，一次次螺旋上升的概念，一个个晦涩难懂的名词，都解决不了一个疑问：博弈论对我们普通人到底有什么用？

它可能不会让你在下一次买菜时便宜五毛钱，也不会让你在一场争吵中“必胜”，甚至可能会让你意识到，许多情况下的“最优解”恰恰是自己的直觉无法接受的。

它仅仅是提供了一种不太常见的视角，让我们能以旁观者的视角看一些事。在陷入困境时，先退一步，试着看清棋盘的全貌：这是一个什么类型的游戏？是一次性的，还是会重复的？是零和博弈还是存在共赢可能的？参与者有谁，他们真正想要的是什么——是金钱、是尊严、还是稳定性？不同的决策收益，不同的预期，所对应的都是完全不同的模型，也往往有不同的对策。

结语

但写完这一切，说实话，我可能下次遇到这些事时也不会想着去拿笔列一下收入矩阵（这也太 nerd 了...），但或许，在学习的过程中，能多那么一点点正确的直觉？去思考不同的策略？能有这一点效果我就很满足了。

附注